你如果真懂数学，就会讲得连高中生也能听懂。即便是面向专业群体的研讨会，也应做到其最初四分之一让外行人听懂大意，第二个四分之一让本系研究生懂得内涵，第三个四分之一让本系教授基本理解，最后的四分之一才属于你的研究领域专家的交流时间。

(资料图片仅供参考)

撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）

这篇文章是为从事学术工作的年轻人写的，包括硕士或博士研究生、大学教师和研发人员，但由于笔者一辈子在大学教数学和做研究，文中主要拿数学报告做例子。然而，科技演讲的基本原则和注意事项与具体的领域几乎是“线性无关”的，所以我还是将“学术演讲”放进文章的标题，以吸引更多的读者，甚至那些还在积极从事学术交流的中老年读者。

一个学者的学术人生分为校园求学和研究应用两个阶段，前者以吸收知识为主，后者以创造知识为主；前者与后者大概各占人生的三分之一和三分之二。读书可以“关门苦思”，但创造却不能“闭门造车”，它总与“交流”结成伙伴。所以一个把数学定为终生职业的人，一辈子除了学数学，还要讲数学，因此“学术演讲”是与“学术研究”终生相伴的一对情侣。

然而这对情侣经常反差很大，或言之，别人常私下议论它们不“门当户对”，即一方的条件远逊色于另一方。而这种不对称性，常常是学术研究一方“低就”学术演讲一方。不信？请读一读美国布朗大学数学系的教授韦默 (John Wermer，1927-2022) 于三十年前发表在《美国数学会会刊》(Notices of the American Mathematical Society)上的一封读者来信。他首先发现研究型大学数学系从外校请来的专家报告大都达不到预期效果，尽管演讲者可以在其领域学富五车，才高八斗。然后他分析了原因：

The reason is, I think, that the speaker is not addressing the real audience in the room, but an imaginary audience existing in his or her mind. The imaginary audience knows all the terminology of the field, knows all but the most recent results, remembers the meaning of all the symbols introduced (and then quickly erased) by the speaker, and can follow complicated arguments and calculations on the board with ease.

其译文是：

我认为，原因是演讲者不是在向报告厅里的真实听众讲话，而是在他或她脑海中假想的听众。想象中的听众知道该领域的所有术语，知道除了最近的结果之外的所有内容，记住演讲者介绍（然后迅速擦除）的所有符号的含义，并且可以轻松地理解黑板上的复杂论证和计算。

这种现象普遍存在。据闻陈省身 (1911-2004) 先生曾有一句俏皮话：听报告的最好方式是睡觉！确实有些著名的数学家听报告时的“习惯性打瞌睡”也很著名，如维纳 (Norbert Wiener，1894-1964) 和爱尔特希 (Paul Erdös，1913-1996)。这时，演讲者最好记住鲁迅 (1881-1936) 先生的一句警告：“浪费自己的时间等于慢性自杀，浪费别人的时间等于谋财害命。”现在中国的高校富裕了，付给请来的学术讲演人的酬金早已是四位数，如果此人戴着学术大帽子，有可能接近或者达到五位数了，所以倘若报告效果几乎为零，虽然不至于“害命”，却与变相的“谋财”不远了。

讲数学最大的敌人是演讲者脑子里挥之不去的假设：听众与自己同属内行。事实刚好相反，大部分听众是外行或几乎是外行。即便是解决了庞加莱猜想的俄罗斯数学奇才佩雷尔曼 (Grigori Perelman, 1966 -)，曾经留学苏联、刚刚仙逝的中国计算数学家石钟慈 (1933-2023) 先生如果与他相见，一下子大谈自己的拿手好戏——有限元超线性收敛理论的细节，对方也会听得一头雾水。因此报告人应把“听众对此一无所知”作为演讲的必然前设。把演讲内容精心处理后才报告给心目中的外行听，听众就会满载而归，满心喜欢，深深地感谢善讲者提供的一顿学术佳肴。

还有一种心理因素左右演讲人，就是“讲浅了怕别人瞧不起”。许多人的报告复杂难懂，正是因为演讲者经常有着报告讲得越深越好的错误观念，以为深奥的内容容易收获听众的尊敬甚至崇拜：水平“实在是高”。其实，“讲得深”与“讲得好”之间没有必然的逻辑关系，后者才是至关重要的。

我聆听过一些极好的演讲，也耳闻过惨不忍睹的报告，前者稀少，后者不少。我只举好的例子，而且是我记忆最深刻的一个。那是在1985年的深秋，陈省身教授在他硕士导师孙光远 (1900-1979) 生前任教几十年的南京大学做了一个关于现代微分几何的公众演说。他这样开讲：“笛卡尔最伟大的数学贡献是引进了坐标系，标志解析几何的诞生——用代数方法研究几何问题。但是，他无意中犯了一个小‘错误’，即x轴画成水平，y轴画成竖直，这让人以为y总是x的函数。”然后他话锋一转，接下来说：“现代微分几何恰恰把x和y看成一样，它们都是第三个变量的函数。”报告结束后，我在离场的听众群里听到一片赞叹之声。确实，陈先生的开场白不仅通俗，而且诙谐，并从人人理解的初等术语中引出现代数学重要概念——流形的基本思想。这是我出国前听到过的最佳数学报告。

学术演讲的基本原则

如果说对写文章的基本要求是让人读懂，那么对做报告的基本要求则是让人听懂。一场极好的演讲可以获得“听君一席话，胜读十年书”的喝彩。美国有个出生于匈牙利的著名数学家哈尔莫斯 (Paul Halmos，1916-2006)，他不仅写了几本经典数学著作，而且以他对怎样写数学与怎样讲数学的真知灼见，成为全世界年轻数学家的一位导师。他去世后第二年，美国数学会纪念他的方式是在其“会刊”中，从他若干关于数学写作及演讲的文章中，摘录了关键的段落，汇集成文，标题是Paul Halmos: in his own words（保罗·哈尔莫斯：用他自己的话说）。该杂志遍及全世界的订户读之受益。

半个世纪前，哈尔莫斯写了一篇文章How to talk mathematics（怎样谈论数学），登在《美国数学会会刊》上，其中他提出了数学演讲的两条基本原则。这个原则对于一切学术演讲都是有指导意义的。在下面，我将就每一条基本原则阐述个人的理解，并举例论证。

第一条演讲原则可以用一位德裔美国建筑大师密斯·范德罗 (Ludwig Mies van der Rohe，1886-1969) 的一句极简格言来刻画：Less is more（少就是多）。这三词警句虽然就实体建筑而言，但对“演讲建筑”同样对。哈尔莫斯感叹道：“假如所有演讲者记住那句格言，所有听众将更聪明、更快乐。”

这句格言还颇具哲理，也有老子《道德经》中的名句风格。多与少看似相反，却是矛盾的统一体，极易相互转化。比如又臭又长的空洞文章没有新意就是“多流向少”的例子，反之一句好的五言绝诗，虽只寥寥十字，却可传递万千信息，如杜甫的“朱门酒肉臭，路有冻死骨”。学术报告如处理不好，就会讲得越多，吸收越少。“少就是多”应该成为学术演讲者的座右铭，所作的报告应该初等、简单、易于听众消化，而不应该复杂、过于技术性，更不应该符号、定义、定理一大堆。

然而，许多报告者热情似火，带上几吨的知识食量奉献给听众，可惜“好的动机不一定有好的效果”，坐在下面的人胃小装不下。因为大多数听众的脑袋都很普通，既没有屠格涅夫 (Ivan Turgenev，1818-1883) 那么重的脑组织，也没有冯·诺伊曼 (John von Neumann，1903-1957) 那么多的脑细胞。他们大都不是演讲者领域里的行家，来听报告的目的主要是为了俘获基本信息，而不是追求细枝末节。常有这样的情景：学院为免听众太少而让报告者感到脸上无光，把研究生甚至大学生请来捧场，而这些学生可能对所涉及的论题更是一无所知，你能指望他们会享受一场全是复杂公式的报告吗？

哈尔莫斯搞过一次民意测验：阁下曾因为一场报告太初等而讨厌它吗？结果回答几乎都是“不，我喜欢初等的报告。”于是他奉劝演讲者：“公众报告应当是简单和初等的；它不应该是复杂的和技术性的。” 能把复杂的东西用通俗易懂的语言完美地表达给听众，这是演讲者最高水平的发挥。

第二条演讲原则是：以具体体现抽象。数学是抽象的艺术，但是正如文艺理论家所说“艺术来源于生活”，而生活是具体的，所以抽象数学的源头是具体的问题。比如说，“群”是抽象的数学概念，但它最早来自于求解五次多项式方程的千年难题。抽象概念的原始想法往往简单、具体、深刻，而通过原始模型就会传达本质而易懂的思想。在学术报告中，对背景不一的听众就要传输重要数学概念的来龙去脉，让简单具体的例子显示其内蕴的令人赞叹的好想法。

我听过华人数学家、我的博士论文导师李天岩 (1945-2020) 教授一个关于现代同伦算法求解多项式方程组的公众讲座。求多元多项式系统的所有零点是当代主流数学分支代数几何的主要工作，这门学科的语言极其高深，如果他的报告一开始就引入“簇”、“概型”、交换代数的复杂术语，大概只有代数几何的教父格罗腾迪克 (Alexander Grothendieck，1928-2014) 才完全听懂。李教授在报告的一开始从中学生都会解的二元二次方程组x^2 = 4，y^2 = 9入手，从它的四组“平凡解”出发，引出同伦延拓的基本思想，在同伦参数t从0到1的向前推进中最终获得两个给定二元二次多项式方程所有的“孤立解”。这场报告让在场人员听完都觉得自己更加聪明了。几十年来，听过他讲座的人都夸奖他高超的讲数学本领。2011年，香港浸会大学的汤涛教授将他请去做了一系列演讲，其视频放到了公共平台。

再举几个示范性例子。如果报告的主题有关布劳威尔不动点定理，可先用初等微积分中的介值定理为其一维代表引入，然后可把美国拓扑学家赫希 (Morris Hirsch，1933-) 的构造性反证法思想用二维圆盘的情形几何形象地展现出来。要讲拓扑学中一般流形的欧拉公式，若从直观的多面体着手，听众也会跟着演讲者数出面、棱、点数之间的那个美妙关系。如需解释代数几何中的比左定理，即多元多项式系统的孤立解个数的上界是各多项式次数之积，则可用大学生都学过的矩阵特征值问题作为特例解释。一言以蔽之：少讲抽象，多讲具体。

我还想举个与我主要的研究领域有关的例子，这是在我寻找教职时李天岩教授于1990年春传授给我怎样在面试报告中解释遍历理论中的Frobenius-Perron算子的绝妙方法。这个算子的标准定义没有学过实分析的听众是难以听懂的，因为它用到测度论中“测度关于测度绝对连续”概念的Radon-Nikodym定理。李教授找了《百家姓》中的前三人，提升他们为物理系的赵教授和钱教授以及数学系的孙教授，让他们申请理学院牛院长的研究基金。假设他们三人各有1/2、1/3和1/6的概率幸运获得奖励，试问物理系和数学系得此基金的概率各为多少？

这个问题当代中国的幼儿园孩子说不定也做得出，只要会简单的分数加法就行。但是，为了引出上述算子的思想，李教授用“高射炮打蚊子”的高级方法先定义了一个“人工映射”，它将赵钱孙三人集合映到物理数学二系集合。然后，定义域{赵, 钱, 孙}上的概率分布{1/2, 1/3, 1/6}通过映射自然地转移成值域{物理系, 数学系}上的概率分布{5/6, 1/6}。这种由映射所诱导的概率分布之间的对应关系就叫做Frobenius-Perron算子。两周后，当我在西华盛顿大学做面试报告时，临场发挥地将赵钱二人换成在场的两位刚认识的洋人教授，而让孙像孙猴子似地变成我，并幽默地称自己“是条小鱼”，因为我的概率三人中最小！不出李教授所料，这场讲座大获成功，听众个个都从头到尾听懂了。

确保基本原则奏效

上面提到的韦默教授开了一个医治学术报告不成功的处方：1. 讨论一些简单的例子；2. 解释问题怎样来自于数学的某个经典论题；3. 只列出几步关键计算；4. 无情地略去大部分细节。这是这位活了95岁的复变函数论老专家留给数学工作者的一件 “传家宝” 。

然而，一些报告者毫不理会这位布朗大学教授如上的忠告，其中有的人这样为自己难懂的演讲内容辩解：“我的论题太复杂了，需要的公式太多了，技术性太强了，真的没法讲简单。”对此，哈尔莫斯一针见血地回答道：“我持怀疑态度，而且我愿意说这样的陈述表明对这门学科及其在数学中的地位理解不完整。每个学科，甚至是学科的每一小部分……都有其简单的方面，它们——简单的方面，学科的根源以及与更广为人知和更古老数学部分的联系——是需要告诉非专业的听众的。”

李天岩教授生前多次略加但合理夸张地说过：“你如果真懂数学，就会讲得连高中生也能听懂。”请让我用与此“条件语句”逻辑等价的逆否命题形式重新强调它：“你的报告如果高中生没能听懂，那你没有真懂数学。”不是吗？我们见到的许多“专家学者”，其实没有真的搞懂他们所从事研究的那门学问，无论在哪里教书，我们的周围都有这样的人物。他们能炮制大量论文，甚至还有一些可做吹牛资本的数据支撑着他们的“唬人名声”。甚至个别人肚子里尽管知识贫乏，但靠着“团队”群体“滥竽充数”而迷惑外行人。我在长期的读书和教书生涯中早就发现，部分顶着教授头衔的研究者是能发表期刊文章，但若给他们稍具挑战性的高等微积分“ε - δ”题目试试基本功力如何，可能就有力不从心之感，败下阵来。所以，要想讲好数学，首先就要精通数学，然后设法遵守演讲基本准则，就可以把这堂“学术课”讲得令人难忘。

自然，对那些面向本领域人士的“专业报告”而言，比如研讨班演讲，所谓的“让高中生能听懂”是一个简单化的比喻，但并不妨碍上述两个演讲基本原则仍然有效。即便需要较多的数学语言，只要努力得当，完全可以大幅增加一场报告中能让高中生听懂的百分比。有个德国数学家说过大致意思如下的话：一个好的报告的最初四分之一应能让外行人听懂大意，第二个四分之一应能让本系研究生懂得内涵，第三个四分之一能让本系的教授基本理解，最后的四分之一才属于你的研究领域专家的交流时间。

因为本文的主要读者想必是年轻的硕士博士研究生，我想回顾一下我在李天岩教授门下读博士期间参加他和所有弟子组成的每周一次研讨班的经历。那时，他的六七名博士生几乎都是来自大陆知名大学数学系的77级本科生，自以为在国内打下了扎实的分析基础，当然修课拿A对我们来说不难，然而难的是满足导师对我们学术演讲的严格要求。

李教授对弟子研讨班报告人的要求是：“我不要听你的‘ε - δ’语言！”这是什么意思呢？他的意思是“你不要给我抄黑板似的形式证明，我不要看对一般情形的推理，让n = 3，证给大家看看。”他的博士母校马里兰大学数学系，就发生过这样的“经典故事”，一位研究生进行博士资格考的口试部分，教授让她证明特殊情形的“吉洪诺夫定理”：两个紧集的乘积是紧集。谁知，被考者自告奋勇地要求来个范围更广证明更难的同名定理：任意个紧集的乘积是紧集，原因是她已经将后一个一般吉洪诺夫定理的“标准证明”背得滚瓜烂熟，却对如何直接证明定理简化版本的前一个不知所措。

这就是为何李教授要让我们只证“n = 3”。我建议这个“李天岩证明法”能在中国大学数学系的硕士生、博士生，甚至教授研讨班中推广开去。这实在是个好方法。这个方法实行之初，对部分还没有学会“怎样讲数学”的年轻人是个挑战。我记得我同期的师兄弟中几乎都被挂过黑板，重新过堂，或李教授只好走到黑板前亲自示范“怎么讲”。这就是为何在我们的研讨班上，几乎看不见“Let (X, Σ, μ) be a σ-finite measure space（令(X, Σ, μ)为一σ-有限的测度空间）”这样的抽象概念开场白。

训练有时是令人难受、困惑、尴尬、难堪的，但结局是喜人的。经过几年研讨班的实践，我那批几个师兄弟们不仅从阐述数学中学会了研究数学，而且数学的演讲能力空前提高。平时多流汗，战时少流血。90年代初是美国历史上大学教职位置最难获得的几年，一些名校如哥伦比亚大学的数学博士找教职也遇到困难而最终进军企业界，但是我们几个师兄弟都拿到了大学正式助理教授的教鞭，不能不说一个原因是我们讲得深入浅出让听众听懂的面试报告帮助我们打败了众多的竞争者。

学术演讲的一些技巧

准备一个学术演讲时需要注意些什么呢？我想提出两个基本要点。首先，演讲者必须知道谁来听你的报告，进而“为听众设计演讲”。不同的受众对象虽然不会改变上一节所说的演讲基本原则，但在内容安排和表达方式上有不同的需求。自己所在研讨班的报告、外系邀请的学术报告、专业学会的小型研讨会或同行领域的专题讨论会，这些活动参加者的专业背景各有不同。比如系里所有师生都可以走进听讲的邀请学术报告 (colloquium)，对演讲阐述性的要求最高，因为听众的领域可谓是“五花八门”；而坐在小型研讨会 (mini-symposium) 的绝大多数人对研讨的对象不是专家也是准专家了。因而所有的演讲内容都应该被听众所左右。

其次，演讲要“精心准备”。我听过一些大牌教授精心准备的精彩报告，也听过几个名人应邀所做的缺乏新意的马虎讲座。不要以为只有小人物才需好好准备讲稿，而大人物已经名满天下，无需准备也能吸引听众。哈尔莫斯告诉过读者，一位著名数学家曾经对他说自己花了五十个小时准备了一个五十分钟的报告，也就是说平均每分钟的演讲内容花了一个钟点打理！他本人呢？他坦率地透露了自己演讲排练的“幕后花絮”：

“我大声讲了一遍，对着录音机又讲了一遍，然后从头到尾听了六遍。前三遍找出需要加工的地方，之后三遍调整演讲时间（特别对每部分的用时找到感觉）。一旦做完这些，我从头到尾又彩排了一次（就我自己，没有听众）。这就是工作。”

下面就增强演讲效果的几个技巧分段加以说明。

演讲总有一个标题，但选择标题很有讲究。英国数值代数学家、皇家学会会士海厄姆 (Nicholas Higham，1961-) 曾经后悔他一个演讲的题目Exploiting Fast Matrix Multiplication within the Level 3 BLAS太专业，海报贴出后导致几个潜在听众“望而止步”。他后来如做同样的报告，会将标题中前四个词后面的换成in Matrix Computations。我自己也有体会。因为我标题为Finite Approximations of Froenius-Perron Operators（Frobenius-Perron算子的有限逼近）的面试报告比较成功，后来我在此基础上继续加工成的“标准演讲”也未改题目，但不久我觉得，报告题目中的“算子”或许会吓跑那些以为不精通算子理论就听不懂的人，于是我将它改成更短更吸引眼球的Chaos from a Statistical Point of View（从统计观点看混沌），可能这一改想来听报告的人也多些了。

演讲者一般都有“听众越多越感自豪”的心理，由于听报告是自愿的行为，在标题上做文章常能做好文章，多抓到几个人来听。一个妙法就是出个疑问式的题目，如“无穷大有多大？”或“一个箱子能装多少个球？”今日，许多微信公众号的文章常常这么做，甚至到了不这样做就不行的地步了，以至于有的时候问的却是文章中的不起眼问题或次要内容。无论是用陈述句还是疑问句做标题，都应该像写文章一样遵循它的基本功能：用最短的文字表达主要内容，而不应仅为吸引关注而哗众取宠。

今日做学术演讲早已不是“写黑板”了，但至少就数学报告而言，看似写得慢腾腾的一个个粉笔字，它们传输关键想法的速度其实高于一下子翻到后一页的高科技PPT，尽管它花费了额外的展现时间。有时间限制的专业会议报告当然无人不用PPT，但一些讲究思想先行的数学家大概还是喜欢在小规模研讨班上和弟子用黑板交流。让粉笔展现数学之美的第一优点是它遵从思维的逻辑，比如说如果演示遍历理论中的“时间平均”

演讲稿PPT的内容和格式也应遵循“少就是多”的原则，具体体现是每页切忌“拥挤不堪”：内容能少则少，字体能大则大。每页不要超过七八行，周围留有足够的空间，同时也照顾了后排或视力不佳的听众。这就要求尽情删去可有可无的非关键词，因为听众在看到关键词的同时，耳朵也在听演讲者清楚解释的每一个音节。例如，“能够证明存在一个常数C，使得不等式f(x) ≤ C对x一致成立”可以缩短成“可证f(x) ≤ C一致成立”或甚至更简洁的“f(x) ≤ C，Ɐ x”。

如果报告的内容是最新研究成果，一个差劲的做法是将相关文章段落复制到讲稿上，这对听众是个挑战，谁也无法快速读懂密密麻麻的一大堆语言，并跟上这位懒惰演讲者的步伐。海厄姆对这类报告人用了形容词sin（罪过），告诫道：“避免这个罪过，准备为这个报告特制的简洁可读的幻灯片。”

好了，我们现在看看准备好了讲稿的报告人应该怎样在听众前表演。首先要充满自信，平视众人站稳，讲话铿锵有力，语调抑扬顿挫。其次要善用肢体语言，甚至可以与坐在前排的人开个玩笑、问个简单数学问题，或说个本学科史上一个“名人轶事”，活跃讲堂气氛，增加演说效果。不妨记住这一点：有激情的演讲者会让听众精神为之一振，而萎靡不振的报告人则容易使人昏昏欲睡。在这方面我有一个记忆犹新的经历。

2005年，我有幸获得一个校级研究奖，按规定要向全校做个公众演讲，泰晤士校长也来听了报告，在晚宴前的社交场合他走近我，说“You had passion（你有激情）!”，我回答道“We need passion（我们需要激情）”，他马上赞同“Absolutely（绝对是）!”在晚宴上当他如数家珍似地列举学校获得的联邦研究基金数据时，还没有忘记我，幽默一句“我的数学没有丁博士好。”可见一场有激情的演讲会留给听众什么样的印象。

因此，海厄姆用下面一句话鼓励每一个学术演讲人：“Try to give a dynamic presentation that conveys enthusiasm for your subject（尝试进行充满活力的演示，表达对你的主题的热情）.”

有了饱满的精神状态，演讲所需的几个小技巧就不会难掌握了。你要面对听众，而不是侧向甚至背向他们；你用清晰易懂的语言解释屏幕上的大字和符号，而不是照本宣科地朗读或背诵讲稿。直接读幻灯片容易导致听众反感：“干脆让我们看PPT好了，不必读给我们听。”用娓娓道来的光滑方式讲述数学肯定比结结巴巴复述文字更令听者愉悦，演讲者会觉得像和老朋友在森林中漫步畅谈。

有的报告人演讲时从头到尾都像士兵见到将军时那样立正不动，这完全不可取，即便台下是个闻名天下的大学者，你也不必要过分拘谨，影响自己的发挥，而应该对那些大人物“熟视无睹”。如果你记住了费曼 (Richard Feyman，1918-1988) 在他的书《别闹了，费曼先生》中回忆的他父亲从小对他说的“那些穿制服的脱了制服后就是和我们一样的人”，就不会怕在场的权威了。我看过费曼解释物理学家和数学家对数学不同信仰的视频，他就是在“踱步”中吐出令听众哈哈大笑的智者睿语。要知道，一个人在局部走动中神经最有可能放松，他更有机会像个话剧演员那样在舞台上自由迈步，对听众侃侃而谈，这样就会在台上和台下之间建造了一座畅通无阻的交流大桥。

一场好的学术演讲，不仅可以有效传播研究成果，而且帮助提升报告者在专业领域中的知名度，这对起步不久的初级教授尤为重要。如果你的研究能力卓越，表现突出的一场报告更易引起重量级人物的注意。对于资深教授，极受欢迎的阐述性报告会给年轻学者指明方向，你的功绩会被他们牢记在心；对于在读研究生，学会做好演讲可以为你在心仪大学觅取到通往永久聘用的教职。总之，学术演讲是学术研究的亲密伴侣，它们相互扶持，相辅相成，共同进步，努力把它们的主人打造成“走遍天下都不怕”的科技达人。

出品：科普中国

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